В основу учебного пособия положен годовой курс лекций, которые авторы в течение ряда лет читали для студентов механико-математического факультета Белорусского государственного университета. В книге содержатся следующие разделы: вероятностные пространства, независимость, случайные величины, числовые характеристики случайных величин, характеристические функции, предельные теоремы, основы теории случайных процессов, элементы математической статистики и приложения, в которых приведены таблицы основных вероятностных распределений и значения некоторых из них. Большинство глав включает в себя дополнения, куда вынесены вспомогательный материал и темы для самостоятельного изучения. Изложение сопровождается большим количеством примеров, упражнений и задач, иллюстрирующих основные понятия и поясняющих возможные применения доказанных утверждений. Для студентов математических специальностей университетов.
СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ ......................................................................................... 5 ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................. 6 Глава 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА .................................... 9 § 1. Терминология теории вероятностей .............................................. 9 § 2. Аксиоматика Колмогорова............................................................ 15 § 3. Примеры вероятностных пространств......................................... 20 ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ 1 .................................................................... 26 § 1. Основные понятия комбинаторики.............................................. 26 § 2. Классические теоретико-вероятностные модели ....................... 30 § 3. Частотное (статистическое) определение вероятности ............. 33 § 4. Борелевские сигма-алгебры .......................................................... 34 З адачи .....................................................................................................36 Глава 2. НЕЗАВИСИМОСТЬ...................................................................39 § 1. Условные вероятности...................................................................39 § 2. Независимость событий ................................................................43 § 3. Независимые испытания ...............................................................46 ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ 2 ....................................................................51 § 1. Предельные теоремы в схеме Бернулли ......................................51 § 2. Цепи Маркова.................................................................................54 Задачи .....................................................................................................58 Глава 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ..................................................... 60 § 1. Случайные величины и их распределения .................................. 60 § 2. Классификация случайных величин ............................................ 67 § 3. Многомерные случайные величины ............................................ 79 § 4. Независимость случайных величин ............................................. 86 ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ 3 .................................................................... 91 § 1. Функциональные преобразования случайных величин............. 91 Задачи ..................................................................................................... 93 Глава 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН..................................................................95 § 1. Математическое ожидание и его свойства..................................95 § 2. Моменты случайных величин.....................................................103 § 3. Неравенства. Коэффициент корреляции ...................................109 ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ 4 ..................................................................116 § 1. Интеграл Лебега ...........................................................................116 § 2. Интегралы Римана – Стилтьеса и Лебега – Стилтьеса ............117 § 3. Условные математические ожидания ........................................120 Задачи ...................................................................................................124
